フーリエ変換の問題

■問題

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}\right.}$

■解答

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x\sin \omega xdx}}$

部分積分法を用いる

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x{\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{\omega }{\left[\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right]}_0^1\right\}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

　

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最終更新日： 2023年7月6日