フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判別し，偶関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x& \left(-1<x<1\right)\\ 0& \left(\left|x\right|\geqq 1\right)\end{array}}$

■解答

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)& \left(\omega \ne 0\right)\\ 0& \left(\omega =0\right)\end{array}}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x\sin \omega xdx}}$

◇ $\omega \ne 0$ のとき

部分積分法を用いる

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{1}x{\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left\{-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{\omega }{\left[\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right]}_0^1\right\}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

◇ $\omega =0$ のとき

${\displaystyle =0}$

●備考

${\displaystyle \underset{\omega \to 0}{\lim }{F}_s\left(\omega \right)}$ ${\displaystyle =\underset{\omega \to 0}{\lim }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

${\displaystyle =\underset{\omega \to 0}{\lim }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega +\frac{1}{{\omega }^2}\sin \omega \right)}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\underset{\omega \to 0}{\lim }\frac{-\omega \cos \omega +\sin \omega }{{\omega }^2}}$

ロピタルの定理を用いると

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\underset{\omega \to 0}{\lim }\frac{-\cos \omega +\omega \sin \omega +\cos \omega }{2\omega }}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\underset{\omega \to 0}{\lim }\frac{\sin \omega }{2}}$

${\displaystyle =0}$

　

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最終更新日： 2026年8月13日