基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 2\\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}5-\lambda & 5-\lambda & 5-\lambda \\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle \left(5-\lambda \right)}$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle \left(5-\lambda \right)}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1-\lambda & 2\\ 2& 2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1-\lambda & 0\\ 0& 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right)\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 0\\ 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(5-\lambda \right){\left(-1-\lambda \right)}^2}$ ${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =5\\ \lambda =-1\end{array}\right.}$となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日