基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2& 3& 3\\ 3& 2& 3\\ 3& 3& 2\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 3& 3\\ 3& 2-\lambda & 3\\ 3& 3& 2-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}8-\lambda & 8-\lambda & 8-\lambda \\ 3& 2-\lambda & 3\\ 3& 3& 2-\lambda \end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle 8-\lambda }$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle 8-\lambda }$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(8-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 2-\lambda & 3\\ 3& 3& 2-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-3)，3行+1行×(-3)の計算をする．

${\displaystyle =\left(8-\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1-\lambda & 0\\ 0& 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(8-\lambda \right)\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 0\\ 0& -1-\lambda \end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(8-\lambda \right){\left(-1-\lambda \right)}^2}$${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =8\\ \lambda =-1\end{array}\right.}$となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日