基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ.

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

 

■計算

A λ E = 1 λ 2 2 2 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ

行列式の計算則を用いて1行+2行,1行+3行,1行+4行の計算をする.

= 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ

1行目の成分はすべて 5 λ であるから,定数倍の性質を用いて 5 λ をくくりだす.

= 5 λ 1 1 1 1 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ 2 2 2 2 1 λ

行列式の計算則を用いて2行+1行×2,3行+1行×2,4行+1行×2の計算をする.

= 5 + λ 1 1 1 1 0 3 λ 0 0 0 0 3 λ 0 0 0 0 3 λ

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

= 5 + λ 3 λ 0 0 0 3 λ 0 0 0 3 λ

定数倍の性質を用いて1行目を簡単にして,次数下げの計算で行列式の次数を1つ下げる.

= 5 + λ 3 λ 3 λ 0 0 3 λ

= 5 + λ 3 λ 3 = 0 となる.

よって,行列式の固有値は λ = 5 λ = 3 となる.

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2022年9月6日