基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1& -2& -2& -2\\ -2& 1& -2& -2\\ -2& -2& 1& -2\\ -2& -2& -2& 1\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda & -2& -2& -2\\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}-5-\lambda & -5-\lambda & -5-\lambda & -5-\lambda \\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle -5-\lambda }$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle -5-\lambda }$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(-5-\lambda \right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -2& 1-\lambda & -2& -2\\ -2& -2& 1-\lambda & -2\\ -2& -2& -2& 1-\lambda \end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×2，3行+1行×2，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 3-\lambda & 0& 0\\ 0& 0& 3-\lambda & 0\\ 0& 0& 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 0& 0\\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0& 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて1行目を簡単にして，次数下げの計算で行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right)\left(3-\lambda \right)\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 0\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\left(5+\lambda \right){\left(3-\lambda \right)}^3}$ ${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =-5\\ \lambda =3\end{array}\right.}$となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日