基本的な行列の問題

■問題

次の行列の固有値を求めよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2& 7& 7& 7\\ 7& 2& 7& 7\\ 7& 7& 2& 7\\ 7& 7& 7& 2\end{array}\right)}$

 

■計算

${\displaystyle \left|A-\lambda E\right|}$${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}2-\mathrm{\lambda }& 7& 7& 7\\ 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7& 7\\ 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7\\ 7& 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}23-\mathrm{\lambda }& 23-\mathrm{\lambda }& 23-\mathrm{\lambda }& 23-\mathrm{\lambda }\\ 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7& 7\\ 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7\\ 7& 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|}$

1行目の成分はすべて${\displaystyle 23-\mathrm{\lambda }}$ であるから，定数倍の性質を用いて${\displaystyle 23-\mathrm{\lambda }}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(23-\mathrm{\lambda }\right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7& 7\\ 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }& 7\\ 7& 7& 7& 2-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-7)，3行+1行×(-7)，4行+1行×(-7)計算をする．

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(23-\mathrm{\lambda }\right)\left|\begin{array}{ccc}-5-\mathrm{\lambda }& 0& 0\\ 0& -5-\mathrm{\lambda }& 0\\ 0& 0& -5-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて1行目を簡単にして，次数下げの計算で行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(23-\mathrm{\lambda }\right)\left(-5-\mathrm{\lambda }\right)\left|\begin{array}{cc}-5-\mathrm{\lambda }& 0\\ 0& -5-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(23-\mathrm{\lambda }\right){\left(-5-\mathrm{\lambda }\right)}^3}$ ${\displaystyle =0}$となる．

よって，行列式の固有値は${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda =23\\ \lambda =-5\end{array}\right.}$となる．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日