基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を因数分解した形で求めよ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 1& b& a^2-c^2\\ 1& c& b^2-a^2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle \left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(2a+b+c\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 1& b& a^2-c^2\\ 1& c& b^2-a^2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& a& b^2-c^2\\ 0& b-a& a^2-b^2\\ 0& c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& a^2-b^2\\ c-a& c^2-a^2\end{array}\right|}$

${\displaystyle c^2-a^2}$と${\displaystyle a^2-b^2}$をそれぞれ因数分解をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}b-a& \left(a-b\right)\left(a+b\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-\left(a-b\right)& \left(a-b\right)\left(a+b\right)\\ c-a& \left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{array}\right|}$

1行目の成分には${\displaystyle a-b}$ の共通因数があり，2行目にの成分には${\displaystyle c-a}$の共通因数がある．定数倍の性質を使ってこれらの因数をくくりだす．

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left|\begin{array}{cc}-1& a+b\\ 1& c+a\end{array}\right|}$

2次の正方行列式の値を計算する，

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left\{-\left(c+a\right)-\left(a+b\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(2a+b+c\right)}$

${\displaystyle =\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(2a+b+c\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年7月10日