行列の対角化

行列の対角化

■問題

  A= ( 4 3 2 1 ) を行列 P を用いて対角化せよ.

■答

P= 1 3 1 2 のとき P 1 AP= ( 1 0 0 2 )

P= 3 1 2 1 のとき P 1 AP= ( 2 0 0 1 )

行列 A を対角化するための行列 P は他にも多くある.

■計算

Ax= λx より, (AλE) x= 0  ・・・・・・(1)

ここで

Τ= AλE = ( 4 3 2 1 ) ( λ 0 0 λ ) = ( 4λ 3 2 1λ )

とおく.

与式は,自明な解( x=0 ) 以外の解をもつので,

| Τ |= | AλE |   = | 4λ 3 2 1λ |=0

(4λ)(1λ)+6=0 ,  λ 2 3λ+2=0

(λ1)(λ2)=0

λ1,2

(i) λ=1 のとき,固有ベクトル x 1 = α 1 α 2 とおくと,(1)は

( 3 3 2 2 )( α 1 α 2 )= ( 0 0 )

となり

α 1 α 2 =0 α 1 = α 2

となる.

α 1 = α 2 = k 1 とおくと

x 1 = α 1 α 2 = k 1 1 1

(ii) λ=2 のとき,固有ベクトル x 2 = β 1 β 2 とおくと,(1)は

( 2 3 2 3 )( β 1 β 2 )= ( 0 0 )

となり

2 β 1 3 β 2 =0 2 β 1 =3 β 2

となる.

β 1 = 3 k 2 とおくと,   β 2 = 2 k 2

x 2 = β 1 β 2 = k 2 3 2

(i)(ii)より, x 1 = 1 1 は固有値 λ 1 =1 の固有ベクトル, x 2 = 3 2 は固有値 λ 2 =2 の固有ベクトルである.

対角化可能であるための条件その1その2より行列 A

P= x 1 x 2 = 1 3 1 2

で対角化可能で

P 1 AP= λ 1 0 0 λ 2 = 1 0 0 2

となる.

P= x 2 x 1 = 3 1 2 1

とすると

P 1 AP= λ 2 0 0 λ 1 = 2 0 0 1

となる.

 

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最終更新日: 2023年2月10日