行列の対角化

■問題

 ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right)}$ を行列${\displaystyle P}$ を用いて対角化せよ．

■答

${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)}$ のとき ${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)}$

${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)}$ のとき ${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

行列${\displaystyle A}$ を対角化するための行列${\displaystyle P}$は他にも多くある．

■計算

${\displaystyle Ax=\lambda x}$ より，${\displaystyle (A-\lambda E)x=0}$  ･･････(1)

ここで

${\displaystyle {\rm T}=A-\lambda E}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}4-\lambda & -3\\ 2& -1-\lambda \end{array}\right)}$

とおく．

与式は，自明な解( ) 以外の解をもつので，

${\displaystyle \left|{\rm T}\right|=\left|A-\lambda E\right| }$ ${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & -3\\ 2& -1-\lambda \end{array}\right|=0}$

${\displaystyle (4-\lambda )(-1-\lambda )+6=0}$ ， ${\displaystyle {\lambda }^2-3\lambda +2=0}$

${\displaystyle (\lambda -1)(\lambda -2)=0}$

${\displaystyle \therefore \lambda ＝1,2}$

(i)${\displaystyle \lambda =1}$ のとき，固有ベクトルを とおくと，(1)は

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$

となり

${\displaystyle {\alpha }_1-{\alpha }_2=0}$，${\displaystyle {\alpha }_1={\alpha }_2}$

となる．

${\displaystyle {\alpha }_1={\alpha }_2=k_1}$ とおくと

(ii)${\displaystyle \lambda =2}$ のとき，固有ベクトルを とおくと，(1)は

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 2& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$

となり

${\displaystyle 2{\beta }_1-3{\beta }_2=0}$，${\displaystyle 2{\beta }_1=3{\beta }_2}$

となる．

${\displaystyle {\beta }_1=3k_2}$とおくと,   ${\displaystyle {\beta }_2=2k_2}$

(i)(ii)より， は固有値${\displaystyle {\lambda }_1=1}$ の固有ベクトル， は固有値${\displaystyle {\lambda }_2=2}$ の固有ベクトルである．

対角化可能であるための条件その1，その2より行列 ${\displaystyle A}$ は

で対角化可能で

${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)}$

となる.

とすると

${\displaystyle P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_2& 0\\ 0& {\lambda }_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

となる.

 

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最終更新日： 2023年2月10日