2次関数のグラフの原点対称に関する問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$  のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

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■答

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$

■ヒント

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=f\left(-x\right)}$

である．(グラフを 原点に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=-f\left(x\right)}$ ･･････(1)

となる．よって， ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$  を

${\displaystyle x\to -x}$ ， ${\displaystyle y\to -y}$ ･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$

${\displaystyle -y={\left\{-\left(x+2\right)\right\}}^2+1}$

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点 $\text{P}$ を原点に関して対称移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とする．点 $\text{Q}$ の $x$ 座標の値と $y$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の値 $r$ と $y$ 座標の値 $s$ にそれぞれ ${\displaystyle {\displaystyle -1}}$ を掛けたものとなる．すなわち

${\displaystyle {\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=-r\\ y=-s\end{array}\right.\to \left(x,y\right)=\left(-r,-s\right)}}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=-x\\ s=-y\end{array}\right.\to \left(r,s\right)=\left(-x,-y\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点であるので

${\displaystyle s={\left(r-2\right)}^2+1}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$ ･･････(7)

となる． ${\displaystyle y=}$ の形に式を変形して

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$ ･･････(8)

が得られる.(8)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(8)が ${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日： 2025年4月18日