2次関数のグラフの原点対称に関する問題

■問題

2次関数${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$  のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

■答

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$

■ヒント

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=f\left(-x\right)}$

である．(グラフを 原点に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$のグラフを 原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle -y=-f\left(x\right)}$　･･････(1)

となる．よって，${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ を

${\displaystyle x\to -x}$，${\displaystyle y\to -y}$　･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$

${\displaystyle -y={\left\{-\left(x+2\right)\right\}}^2+1}$

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$　･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点$\text{P}$を原点に関して対称移動したものを点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値と$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$と$y$ 座標の値$s$にそれぞれ${\displaystyle {\displaystyle -1}}$を掛けたものとなる．すなわち

${\displaystyle {\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=-r\\ y=-s\end{array}\right.\to \left(x,y\right)=\left(-r,-s\right)}}$ 　　･･････(4)

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=-x\\ s=-y\end{array}\right.\to \left(r,s\right)=\left(-x,-y\right)}$ 　･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点$\text{P}$は${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ 上の点であるので

${\displaystyle s={\left(r-2\right)}^2+1}$ 　　･･････(6)

の関係がある．この(6)の$r$ と$s$に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle -y={\left(-x-2\right)}^2+1}$ 　･･････(7)

となる．${\displaystyle y=}$ の形に式を変形して

${\displaystyle y=-{\left(x+2\right)}^2-1}$ 　･･････(8)

が得られる.(8)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(8)が${\displaystyle y={\left(x-2\right)}^2+1}$ のグラフを$x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

 

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最終更新日： 2024年9月13日