定義域、値域、変化量に関する問題

■問題

関数 ${\displaystyle y=\frac{1}{x-2}}$ について，定義域と値域を答え，さらに $x$ が $a$ から ${\displaystyle a+1}$ まで変化したとき 関数の値の変化量 ${\displaystyle \Delta y}$ を求めよ．${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}}$ とおくと，${\displaystyle \Delta y=f\left(a+1\right)-f\left(a\right)}$ となる．

■答

定義域：$x=2$ を除く実数全体（または，$x\ne 2$ の実数全体）

値域：$y=0$ を除く実数全体（または，$y\ne 0$ の実数全体）

${\displaystyle f\left(a+1\right)-f\left(a\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}}$

■解説

${\displaystyle y=\frac{1}{x-2}}$ のグラフは ${\displaystyle y=\frac{1}{x}}$のグラフを $x$ 軸方向に $2$ へ平行移動したもので図のようになる． $x$ 軸と直線 $x=2$ が漸近線となっている．

となる．

グラフより

定義域は，$x=2$ を除く実数全体（または，$x\ne 2$ の実数全体）

値域は，$y=0$ を除く実数全体（または，$y\ne 0$ の実数全体）

となる．

${\displaystyle f\left(a+1\right)-f\left(a\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{\left(a+1\right)-2}-\frac{1}{a-2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-2}}$

通分する．

${\displaystyle =\frac{\left(a-2\right)-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{a-2-a+1}{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{-1}{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}}$

 

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最終更新日： 2024年9月13日