1次方程式に関する問題

■問題

1次方程式

${\displaystyle ax+2x+1=b}$　 （ $a$ ， $b$ は定数 ） 　･･････(1)

の解を求めよ．

■答

$a\ne -2$ の場合

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

$a=-2$ かつ $b\ne 1$ の場合

解なし

$a=-2$ かつ $b=1$ の場合

解は実数全体

■解説

$x$ を含む項を左辺に， $x$ を含まない定数項を右辺になるように式を整理する．

まず，(1)の両辺から $1$ を減じる(等式の性質2)ことにより，(1)の左辺の $1$ を右辺に移項する．

${\displaystyle ax+2x+1-1=b-1}$

${\displaystyle ax+2x=b-1}$ 　･･････(2)

(1)の右辺の $1$ が右辺に移項できたので，(2)の左辺を整理する．

(2)の左辺の整式の共通因数である $x$ をくくりだし，残りを()の中に入れる，

${\displaystyle x\left(a+2\right)=b-1}$ 　･･････(3)

(I) $a+2\ne 0$ ，すなわち， $a\ne -2$ の場合

(3)の両辺を $a+2$ で割る(等式の性質4)．

${\displaystyle \frac{x\left(a+2\right)}{a+2}=\frac{b-1}{a+2}}$ 　･･････(4)

(4)の両辺を約分する．

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

(II) $a+2=0$ ，すなわち， $a=-2$ の場合

(3)は

$x\cdot 0=b-1$　･･････(5)

となる．

(II-1) ${\displaystyle b-1\ne 0}$ ，すなわち，の場合$b\ne 1$

(5)の左辺は常に $0$ ，右辺は常に $0$ ではない．よって，(5)が成り立つ $x$ は存在しない．すなわち，解なしとなる．

(II-2) ${\displaystyle b-1=0}$ ，すなわち，の場合$b=1$

(5)の左辺は $x$ がどのような値であっても常に $0$ ，右辺も $0$ である．よって，(5)は $x$ が任意の実数で成り立つ．よって，解は実数全体となる．

以上をまとめると

$a\ne -2$ の場合

${\displaystyle x=\frac{b-1}{a+2}}$

$a=-2$ かつ $b\ne 1$ の場合

解なし

$a=-2$ かつ $b=1$ の場合

解は実数全体

となる．

 

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最終更新日： 2024年10月2日