2次不等式に関する問題

■問題

$2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$ 　･･････(1)

の解を求めよ．

解なし

(1)の2次不等式の左辺を平方完成する．

$2 x^{2} - 12 x + 19 < 0$

$2 (x^{2} - 6 x) + 19 < 0$

$2 \{x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} - {(- 3)}^{2}\} + 19 < 0$

$2 \{{(x - 3)}^{2} - 9\} + 19 < 0$

$2 {(x - 3)}^{2} - 18 + 19 < 0$

$2 {(x - 3)}^{2} + 1 < 0$ 　･･････(2)

(2)の左辺は， ${(x - 3)}^{2} ≧ 0$ より

$2 {(x - 3)}^{2} + 1 ≧ 1$ 　･･････(3)

である．

よって，(2)を満たす $x$ は存在しない. したがって，(1) の不等式の解はなしとなる．

$2 x^{2} - 12 x + 19$ を因数分解するために， $2 x^{2} - 12 x + 19 = 0$ の解を解の公式( $x$ の係数が偶数の場合の公式を使用）を使って求めようとすると

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 2 \cdot 19}}{2}$ $= \frac{- 6 \pm \sqrt{- 2}}{2}$

のように，ルートの中が負の値になり，実数解が存在しないことに気が付く．よって，(1)の左辺を平方完成することにした．

最終更新日： 2024年9月26日