絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

次の不等式の解を求めよ．

${\displaystyle \left|-x+5\right|>3}$ ･･････(1)

■答

${\displaystyle x<2}$ ， ${\displaystyle x>8}$

■ヒント

${\displaystyle -x+5\geqq 0}$ の場合と ${\displaystyle -x+5<0}$ に分けて考える．

■答

絶対値の性質1を用いて場合分けをする．

● $-x+5\ge 0$ ，すなわち， ${\displaystyle x\leqq 5}$ の場合

${\displaystyle \left|-x+5\right|=-x+5}$

より，(1)は

${\displaystyle -x+5>3}$ ･･････(2)

となる．(2)を解くと

${\displaystyle -x>-2}$

${\displaystyle x<2}$ ･･････(3)

となる．(2)の詳しい解き方は，この問題を参考にする．

(3)は ${\displaystyle x\leqq 5}$ を満たしてる．よって(1)の解になる．

● ${\displaystyle -x+5<0}$ ，すなわち， $x>5$ の場合

${\displaystyle \left|-x+5\right|=-\left(-x+5\right)}$

より，(1)は

${\displaystyle -\left(-x+5\right)>3}$ ･･････(4)

となる．(4)を解く．

${\displaystyle x-5>3}$

${\displaystyle x>8}$ ･･････(5)

となる．(5)は $x>5$ を満たしている．よって(5)は(1)の解になる．

以上より

(1)の解は

${\displaystyle x<2}$ ， ${\displaystyle x>8}$

となる．

●グラフによる理解

${\displaystyle y=\left|-x+5\right|}$ ･･････(6)

$y=3$ ･･････(7)

とおく．．

以下に，(6)と(7)のグラフを示す．(1)の解は，(6)のグラフの(7)のグラフより上の部分の $x$ の範囲である．

(6)のグラフのかき方はこのページを参考にしてください．

 

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最終更新日： 2025年4月27日