2次関数の頂点を求める問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=x^2-3x+9}$ の頂点の座標を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{27}{4}\right)}$

■ヒント

2次関数を平方完成する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

${\displaystyle y=x^2-3x+9}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =x^2-2·\frac{3}{2}x+9}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{3}{2}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

${\displaystyle x^2-2xy+y^2={\left(x-y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{27}{4}}$

よって，頂点の座標は

${\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{27}{4}\right)}$

となる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日 2025年12月17日