2次関数のグラフの平行移動に関する問題

■問題

2次関数${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを$x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

■答

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$

■解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  のグラフを$x$ 軸方向に$a$ ，$y$ 軸方向に$b$平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$　･･････(1)

となる．(グラフの平行移動を参照)．
今回は${\displaystyle a=-3}$  ，${\displaystyle b=-2}$ に対応する．
よって${\displaystyle y=x^2}$ を

${\displaystyle x\to x-\left(-3\right)}$ ，${\displaystyle y\to y-\left(-2\right)}$　･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle y-\left(-2\right)={\left\{x-\left(-3\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$　･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y=x^2}$ 上の点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とすると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r+\left(-3\right)\\ y=s+\left(-2\right)\end{array}\right.}$ 　 $\to$ 　 ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(r-3,s-2\right)}$ 　･･････(4)

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=x+3\\ s=y+2\end{array}\right.}$ 　 $\to$ 　 ${\displaystyle \left(r,s\right)=\left(x+3,y+2\right)}$ 　･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x^2}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=r^2}$ 　　･･････(6)

の関係がある．この(6)の$r$ と$s$に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle y+2={\left(x+3\right)}^2}$

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$ 　･･････(7)

が得られる.(7)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(7)が${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したグラフを表す関数である．

■別解

２次関数の頂点${\displaystyle \left(0,0\right)}$ を$x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動すると，${\displaystyle \left(-3,-2\right)}$ に移動する．よって，求める関数は

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$

となる（ここを参照）．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>関数>>関数の演習問題>>グラフの移動に関する問題>>2次関数のグラフの平行移動に関する問題

最終更新日： 2024年9月13日