2次関数のグラフの平行移動に関する問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=x^2}$  のグラフを $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$

■解説

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$  軸方向に $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$ ･･････(1)

となる．(グラフの平行移動を参照)．
今回は ${\displaystyle a=-3}$  ， ${\displaystyle b=-2}$ に対応する．
よって ${\displaystyle y=x^2}$  を

${\displaystyle x\to x-\left(-3\right)}$ ， ${\displaystyle y\to y-\left(-2\right)}$ ･･････(2)

に書き換えて

${\displaystyle y-\left(-2\right)={\left\{x-\left(-3\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

${\displaystyle y=x^2}$ 上の点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とすると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r+\left(-3\right)\\ y=s+\left(-2\right)\end{array}\right.}$ $\to$ ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(r-3,s-2\right)}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}r=x+3\\ s=y+2\end{array}\right.}$ $\to$ ${\displaystyle \left(r,s\right)=\left(x+3,y+2\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x^2}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=r^2}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $r$ と $s$ に(5)の関係を代入すると

${\displaystyle y+2={\left(x+3\right)}^2}$

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$ ･･････(7)

が得られる.(7)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が ${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したグラフを表す関数である．

■別解

２次関数の頂点 ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ を $x$ 軸方向に $-3$ ， $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動すると， ${\displaystyle \left(-3,-2\right)}$ に移動する．よって，求める関数は

${\displaystyle y={\left(x+3\right)}^2-2}$

となる（ここを参照）．

 

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最終更新日： 2025年4月18日