べき級数に展開する問題

べき級数に展開する問題

■問題

次の問題をべき級数に展開せよ.

log 1+x 1x

■ヒント

log ( 1 + x ) マクローリン展開の公式

log( 1+x )=x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +

を用いる.

■答

log 1+x 1x =log( 1+x )log( 1x )  (注意)

=( x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 + ) { ( x ) 1 2 ( x ) 2 + 1 3 ( x ) 3 1 4 ( x ) 4 + }

=( x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 + ) ( x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 + )

=2x+ 2 3 x 3 + 2 5 x 5 + 2 7 x 7 +

■注意

真数条件,すなわち 1+x 1x >0 より

1 x > 0 の場合 1+x>0 となる.

すなわち 1<x<1

1 x < 0 の場合 1+x<0 となるが, 1x<0 1+x<0 ,両方を満たす

x は存在しない.

したがって

1+x 1x >0 のとき,すなわち 1<x<1 のとき, 1+x>0 かつ 1x>0 となり

log 1+x 1x =log( 1+x )log( 1x )

対数の性質を利用して式変形できる.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2022年6月5日