べき級数に展開する問題

■問題

次の問題をべき級数に展開せよ．

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}}$

■ヒント

${\displaystyle log\left(1+x\right)}$ マクローリン展開の公式

${\displaystyle log\left(1+x\right)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots }$

を用いる．

■答

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}=log\left(1+x\right)-log\left(1-x\right)}$ （注意）

${\displaystyle =\left(x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots \right)}$${\displaystyle -\left(-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\cdots \right)}$

${\displaystyle =2x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{2}{5}{x}^5+\frac{2}{7}{x}^7+\cdots }$

■注意

真数条件，すなわち ${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}>0}$ より

・ ${\displaystyle 1-x>0}$ の場合， ${\displaystyle 1+x>0}$ となる．

すなわち${\displaystyle -1<x<1}$

・ ${\displaystyle 1-x<0}$ の場合， ${\displaystyle 1+x<0}$ となるが，${\displaystyle 1-x<0}$，${\displaystyle 1+x<0}$，両方を満たす

${\displaystyle x}$ は存在しない．

したがって

${\displaystyle \frac{1+x}{1-x}>0}$のとき，すなわち${\displaystyle -1<x<1}$のとき，${\displaystyle 1+x>0}$かつ${\displaystyle 1-x>0}$となり

${\displaystyle log\frac{1+x}{1-x}=log\left(1+x\right)-log\left(1-x\right)}$

と対数の性質を利用して式変形できる．

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日