三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{3}tan\theta =-1}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \theta =\frac{5}{6}\pi }$

■ヒント

$\tan \theta =c$ の求め方

■解説

${\displaystyle \tan \theta }$ の値は，単位円上の点の座標を用いると

になる(ここを参照)．

しかし， ${\displaystyle \text{tan}\theta }$ を求める場合，底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが $\left|\text{tan}\theta \right|$ になるので都合がよい．よって，以下のような作図をする．

まず，単位円を描く

${\displaystyle x=1}$ ， ${\displaystyle x=-1}$ の直線を引く．

${\displaystyle \sqrt{3}tan\theta =-1}$ より， ${\displaystyle \tan \theta =-\frac{1}{\sqrt{3}}}$ である．よって， ${\displaystyle x=1}$ 上の ${\displaystyle y}$ の値が ${\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}}$ となるところを点 ${\displaystyle \text{P}}$ とする（ $\text{tan}\theta$ と直線 $x=1$ の関係 を参照）．

点 ${\displaystyle \text{P}}$ と原点 ${\displaystyle \text{O}}$ を通る直線を描き， ${\displaystyle x=-1}$ との交点を点 ${\displaystyle \text{Q}}$ とする．

点 ${\displaystyle \text{P}}$ ，点 ${\displaystyle \text{Q}}$ から ${\displaystyle x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を ${\displaystyle \text{R}}$ ， ${\displaystyle \text{S}}$ とする．

直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ と直角三角形 ${\displaystyle \text{OQS}}$ を描く．

この作図により

${\displaystyle \text{tan}\left(\pi -\left(\angle \text{QOS}\right)\right)=\tan {\theta }_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

${\displaystyle \text{tan}{\theta }_2=\tan \left({\theta }_1+\pi \right)=\tan {\theta }_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (ここを参照)

となる．

${\displaystyle \text{OS}=1}$ ， ${\displaystyle \text{QS}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\frac{1}{6}\pi }$ ， ${\displaystyle {\theta }_1=\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi }$

となる．

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\frac{1}{6}\pi }$ より

${\displaystyle {\theta }_2=\pi +\frac{5}{6}\pi =\frac{11}{6}\pi }$

となる．

${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$ であるから(円周上の赤線に対応)， ${\displaystyle {\theta }_2}$ は範囲外となる．

よって，求める角は

${\displaystyle \theta =\frac{5}{6}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年4月18日