三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle \frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi }$ とする．

${\displaystyle -\frac{1}{2}\leqq \sin \theta \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{2}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{6}\pi }$

■解説

まず，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$の範囲で

${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$

を満たす${\displaystyle \theta }$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle \theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}\pi ,\frac{2}{3}\pi }$

${\displaystyle \sin \theta }$ は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi }$と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

${\displaystyle \frac{2}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{6}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月17日