三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}}$ とする．

${\displaystyle \cos 2\theta <\frac{1}{2}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{3}}$

■解説

${\displaystyle 2\theta =t}$ ･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}}$

${\displaystyle 0\leqq 2\theta <\frac{2}{3}\pi }$

より

${\displaystyle 0\leqq t<\frac{2}{3}\pi }$

となる．

問題を ${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず， ${\displaystyle 0\leqq t<2\pi }$ の範囲で

${\displaystyle \cos t=\frac{1}{2}}$

を満たす ${\displaystyle t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi }$

${\displaystyle \cos t}$ は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 成分に相当することを考慮して， ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した不等式 ${\displaystyle \cos t<\frac{1}{2}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle 0\leqq t<\frac{2}{3}\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

${\displaystyle \frac{\pi }{3}<t<\frac{2}{3}\pi }$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を ${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle \frac{\pi }{3}<2\theta <\frac{2}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{3}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月20日