三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ とする．

${\displaystyle 0<\sqrt{2}\cos 3\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)<1}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi <\theta <\frac{1}{4}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{5}{12}\pi <\theta <\frac{1}{2}\pi }$

■解説

${\displaystyle 3\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=t}$ ･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle -\frac{\pi }{3}\leqq \theta -\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{6}}$

${\displaystyle -\pi \leqq 3\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)<\frac{\pi }{2}}$

より

${\displaystyle -\pi \leqq t<\frac{\pi }{2}}$

となる．

問題を ${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず， ${\displaystyle 0\leqq t<2\pi }$ の範囲で

$\cos t=0$ ， ${\displaystyle \cos t=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

を満たす ${\displaystyle t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi }$

${\displaystyle t=\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

${\displaystyle \cos t}$ は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 成分に相当することを考慮して， ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した不等式 ${\displaystyle 0<\cos t<\frac{1}{\sqrt{2}}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq t<\frac{5}{4}\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

${\displaystyle -\frac{1}{2}\pi <t<-\frac{1}{4}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{1}{4}\pi <t<\frac{1}{2}\pi }$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を ${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle -\frac{1}{2}\pi <t<-\frac{1}{4}\pi }$ より

${\displaystyle -\frac{1}{2}\pi <3\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)<-\frac{1}{4}\pi }$

${\displaystyle -\frac{1}{6}\pi <\theta -\frac{\pi }{3}<-\frac{1}{12}\pi }$

${\displaystyle -\frac{1}{6}\pi +\frac{\pi }{3}<\theta <-\frac{1}{12}\pi +\frac{\pi }{3}}$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi <\theta <\frac{1}{4}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi <t<\frac{1}{2}\pi }$ より

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi <3\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)<\frac{1}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{12}\pi <\theta -\frac{\pi }{3}<\frac{1}{6}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{12}\pi +\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{1}{6}\pi +\frac{\pi }{3}}$

${\displaystyle \frac{5}{12}\pi <\theta <\frac{1}{2}\pi }$

整理すると

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi <\theta <\frac{1}{4}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{5}{12}\pi <\theta <\frac{1}{2}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月20日