三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle -2{\cos }^2\theta +\sin \theta +1=0}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi ,\frac{3}{2}\pi }$

■ヒント

公式 ${\displaystyle {\sin }^2+{\cos }^2=1}$ を用いて式をsin に統一して計算を行う．

■解説

公式 ${\displaystyle {\sin }^2+{\cos }^2=1}$ を用いて次のように式を変形する．

${\displaystyle -2\left(1-{sin}^2\theta \right)+sin\theta +1=0}$

${\displaystyle \sin \theta =t}$ とおき，整理すると次のような2次方程式になる．

${\displaystyle -2\left(1-t^2\right)+t+1=0}$

${\displaystyle -2+2t^2+t+1=0}$

${\displaystyle 2t^2+t-1=0}$ ･･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる．

${\displaystyle (2t-1)(t+1)=0}$

${\displaystyle t=\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle t=-1}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle sin\theta =-1}$

となり，これらの2つの方程式を解く

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ ⇒ 解

${\displaystyle sin\theta =-1}$ ⇒ 解

よって

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =-1}$ のとき

${\displaystyle \theta =\frac{3}{2}\pi }$

　

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最終更新日： 2025年3月1日