三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle 2{\cos }^2\theta {\tan }^2\theta -1=0}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ，\frac{3}{4}\pi ，\frac{5}{4}\pi ，\frac{7}{4}\pi }$

■ヒント

公式 ${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$を用いて式をsin に統一して計算を行う．

■解説

公式${\displaystyle \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$を用いて式を与式のように変形する．

${\displaystyle 2{\left(\cos \theta \tan \theta \right)}^2-1=0}$

${\displaystyle 2{\left(\cos \theta \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\right)}^2-1=0}$

${\displaystyle 2{\sin }^2\theta -1=0}$

${\displaystyle sin\theta =t}$とおくと式は次のようになる．

${\displaystyle 2t^2-1=0}$　･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のような2次方程式になる．

${\displaystyle (\sqrt{2}t+1)(\sqrt{2}t-1)=0}$

${\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}}$  ，  ${\displaystyle t=-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle t}$ を元に戻すと

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$  ，  ${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

となり，これらの2つの方程式を解く

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　⇒ 解

${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$　⇒ 解

よって

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ，\frac{3}{4}\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき

${\displaystyle \theta =\frac{5}{4}\pi ，\frac{7}{4}\pi }$

　

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最終更新日： 2023年4月12日