不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \left(x^3+2x^2-\sqrt{x}\right)dx}$ 

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C}$　　(C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(C は積分定数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int \left(x^3+2x^2-\sqrt{x}\right)dx}$ 

計算しやすくするために， ${\displaystyle \sqrt{x}}$ 　を累乗の形に変換する．

${\displaystyle =\int \left(x^3+2x^2-x^{\frac{1}{2}}\right)dx}$

（${\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}$ 　は 指数が有理数の場合を参照） 

${\displaystyle =\int x^{3}dx+\int 2x^{2}dx-\int x^{\frac{1}{2}}dx}$ 

（不定積分の基本式の2つ目の式を参照）

${\displaystyle =\int x^{3}dx+2\int x^{2}dx-\int x^{\frac{1}{2}}dx}$ 

（${\displaystyle 2}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照） 

（公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C}$ 

（${\displaystyle \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}}$ を ${\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{x^3}}$ の形に戻す．指数が有理数の場合を参照） 

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle x^3+2x^2-\sqrt{x}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日