不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sin3xcos5xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式より

${\displaystyle sinacosb}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{sin\left(a+b\right)+sin\left(a-b\right)\right\}}$　･･････${\displaystyle \left(1\right)}$

の公式を用いる．

■解説

この問題では，方針の公式 ${\displaystyle \left(1\right)}$ の ${\displaystyle a}$ に${\displaystyle 3x\mathrm{}}$， ${\displaystyle b}$ に${\displaystyle 5x\mathrm{}}$ をあてはめる．

${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left\{sin8x+sin\left(-2x\right)\right\}dx}$ 　　

（ ${\displaystyle sin\left(-2x\right)=-sin2x}$ になるのは， 三角関数の関係式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left(sin8x-sin2x\right)dx}$ 　　

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{8}\left(-cos8x\right)-\frac{1}{2}\left(-cos2x\right)\right\}+C}$ 　　

（ ${\displaystyle \sin x}$の積分とこの式を参照， ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =-\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle -\frac{1}{16}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sin3xcos5x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年9月30日