不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　･･････${\displaystyle \left(1\right)}$          （C は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

${\displaystyle e^{2x}-1=t}$　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2e^{2x}}$ , 　${\displaystyle dt=2e^{2x}·dx}$ , 　∴ ${\displaystyle e^{2x}dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t}·\frac{1}{2}dt}$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|t\right|+C}$　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（最初に ${\displaystyle e^{2x}-1=t}$ と置換したので，元に戻す）

■別解（1）

${\displaystyle e^{2x}=t}$ 　とおいて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2e^{2x}}$ , 　${\displaystyle dt=2e^{2x}·dx}$ , 　∴ ${\displaystyle e^{2x}dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t-1}·\frac{1}{2}dt}$ 　　

（置換積分法の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}dt}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|t-1\right|+C}$ 　　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（最初に ${\displaystyle e^{2x}=t}$ と置換したので，元に戻す）

■別解（2）

積分の計算手順 より

${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$　･･････${\displaystyle \left(2\right)}$ 　

の公式を用いる．

${\displaystyle {\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }=2e^{2x}}$ 　より　 ${\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}·\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}·\frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}}$ 　と考える．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}·\frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{{\left(e^{2x}-1\right)}^{\prime }}{e^{2x}-1}dx}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の${\displaystyle 1}$ つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　　

（公式${\displaystyle \left(2\right)}$にあてはめる）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{2}log\left|e^{2x}-1\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日