不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int tan2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}log\left|cos2x\right|+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

三角関数の相互関係 より

${\displaystyle tanx=\frac{sinx}{cosx}}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}=\log \left|x\right|+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle cos2x=t}$　･･････(3)

とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2sin2x}$

より

${\displaystyle sin2xdx=-\frac{1}{2}dt}$　･･････(4)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{sin2x}{cos2x}dx}$ 　

（方針の公式${\displaystyle (1)}$より）

${\displaystyle =\int \frac{1}{cos2x}·sin2xdx}$ 　　

${\displaystyle =\int -\frac{1}{2}·\frac{1}{t}dt}$ 　　

（(3)，(4)を代入する）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt}$ 　　

（${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}log\left|t\right|+C}$ 　　

（方針の公式 ${\displaystyle (2)}$ にあてはめる）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}log\left|cos2x\right|+C}$ 　　

（最初に　${\displaystyle cos2x=t}$ 　と置換したので，元に戻す）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}log\left|cos2x\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle tan2x}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日