不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int x\sqrt{3x-5}dx}$ 　 　

■答

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle 3x-5=t}$，すなわち，${\displaystyle x=\frac{t+5}{3}}$ 　とおくと

${\displaystyle x\sqrt{3x-5}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(t+5\right)\sqrt{t}=\frac{1}{3}\left(t^{\frac{3}{2}}+5t^{\frac{1}{2}}\right)}$　･･････(1)

となる．（${\displaystyle \sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}}$ となるのは，指数に関する定義の${\displaystyle 3}$ つ目を参照）

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$　･･････(2)

となる．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{3}\left(t^{\frac{3}{2}}+5t^{\frac{1}{2}}\right)·\frac{1}{3}dt}$ 　

（与式に(1)，(2)を代入する）

${\displaystyle =\frac{1}{9}\int \left(t^{\frac{3}{2}}+5t^{\frac{1}{2}}\right)dt}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{9}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{9}\left(\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}+\frac{10}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right)+C}$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{2}{45}{t}^{\frac{3}{2}}\left(t+\frac{25}{3}\right)+C}$ 　　

（最初に　${\displaystyle 3x-5=t}$　と置換したので，元に戻す）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{2}{45}\left(3x-5\right)\sqrt{3x-5}\left(3x+\frac{10}{3}\right)+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle x\sqrt{3x-5}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日