不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \frac{1}{3x-1}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（C は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int \frac{1}{3x-1}dx}$ 　

${\displaystyle 3x-1=t}$　とおいて，置換積分をする．（置換積分については置換積分法を参照）

${\displaystyle x=\frac{t-1}{3}\to \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}}$ 　　∴${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$

（積分　1/(ax+b) も参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{t}·\frac{1}{3}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\int \frac{1}{t}dt}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{3}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}log\left|t\right|+C}$ 　

（公式にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$ 　

（最初に ${\displaystyle 3x-1=t}$ 　と置換したので，元にもどす）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{3}log\left|3x-1\right|+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{3x-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

　ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle \int \frac{1}{3x-1}dx}$

最終更新日： 2023年11月24日