不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos 3x\cos 5xdx}}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$ の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x-sin3xsin5x}$　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x+sin3xsin5x}$　･･････(4)

(3)＋(4)より

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)+cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =2sin3xsin5x}$ 　　

${\displaystyle cos3xcos5x=\frac{1}{2}\left\{cos8x+cos\left(-2x\right)\right\}}$ 　　

ここで，${\displaystyle cos\left(-x\right)=cosx}$ 　なので（三角関数の関係式を参照）

${\displaystyle cos3xcos5x=\frac{1}{2}\left(cos8x+cos2x\right)}$

となる．（三角関数の積和の公式の${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(cos8x+cos2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\int cos8xdx+\int cos2xdx\right)}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin2x\right)+C}$ 　　

（方針の公式にあてはめた）

${\displaystyle =\frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle cos3xcos5x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日