不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 3x\sin 5xdx}}$ 　　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の積和の公式を用い，積分公式が使える形に式を変形する．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x-sin3xsin5x}$　･･････(1)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =cos3xcos5x+sin3xsin5x}$　･･････(2)

(1)－(2) より　

${\displaystyle cos\left(3x+5x\right)-cos\left(3x-5x\right)}$${\displaystyle =-2sin3xsin5x}$ 　　

${\displaystyle sin3xsin5x}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{cos8x-cos\left(-2x\right)\right\}}$ 　　

ここで，${\displaystyle cos\left(-x\right)=cosx}$ 　 なので（三角関数の関係式を参照）

${\displaystyle sin3xsin5x}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(cos8x-cos2x\right)}$

となる．（三角関数の積和の公式を参照）

与式${\displaystyle =\int -\frac{1}{2}\left(cos8x-cos2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\int cos8xdx-\int cos2xdx\right)}$ 　　

(${\displaystyle -\frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}sin8x-\frac{1}{2}sin2x\right)+C }$ 　

（方針の公式 にあてはめる）

${\displaystyle =-\frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle -\frac{1}{16}sin8x+\frac{1}{4}sin2x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \sin 3x\sin 5x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2026年10月6日