不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int xcosxdx}$ 　　

■答

${\displaystyle xsinx+cosx+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

部分積分法 より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

与式を

${\displaystyle \int xcosxdx=\int x·{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$

と式変形する．（${\displaystyle \cos x}$が ${\displaystyle {\left(\sin x\right)}^{\prime }}$ に変換できるのは， 微分 ${\displaystyle sinx}$ を参照）

与式${\displaystyle =\int x·{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =x·sinx-\int {\left(x\right)}^{\prime }·sinxdx}$ 　　

${\displaystyle =x·sinx-\int sinxdx}$ 　　

（${\displaystyle {\left(x\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle 1}$ になるのは，微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

${\displaystyle =xsinx+cosx+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

（三角関数の積分を参照）

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle xsinx+cosx+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle xcosx}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日