${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(-\cos x\right)}^{\prime }\cos }xdx}$ と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$   （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

あるいは

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

でもよい．

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int sinxcosxdx=\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$

と考えて部分積分法を使う． ${\displaystyle sinx}$ が ${\displaystyle {\left(-cosx\right)}^{\prime }}$ に変換できるのは， ここ を参照

与式 ${\displaystyle =\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$

方針の部分積分の公式を利用する

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int \left(-cosx\right)·\left(-sinx\right)dx}$

（ ${\displaystyle cosx}$ を微分すると ${\displaystyle -sinx}$ になるのは，ここ を参照）

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int sinxcosxdx}$

ここで， ${\displaystyle \int sinxcosxdx=I}$ とおくと

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle =-{cos}^{2}x-I}$

${\displaystyle 2I}$ ${\displaystyle =-{cos}^{2}x}$

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}{cos}^{2}x}$

最後に，積分定数 ${\displaystyle C}$ を加える．

${\displaystyle I=-\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$

これは，2倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ と異なっているが， ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ を変形すると ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ になる．

半角の公式の 2番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$

ここで， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ も任意の定数となるので， ${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$ を改めて ${\displaystyle C}$ とかき直す．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle \cos x=t}$ とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　 ${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ， ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle sinxcosx}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月7日