${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(-\cos x\right)}^{\prime }\cos }xdx}$と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$  （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ 　

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int sinxcosxdx=\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$ 　

と考えて部分積分法を使う． ${\displaystyle sinx}$  が${\displaystyle {\left(-cosx\right)}^{\prime }}$  に変換できるのは， ここ を参照

与式${\displaystyle =\int {\left(-cosx\right)}^{\prime }cosxdx}$ 　

方針の部分積分の公式を利用する

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int \left(-cosx\right)·\left(-sinx\right)dx}$

（ ${\displaystyle cosx}$  を微分すると ${\displaystyle -sinx}$  になるのは，ここ を参照）

${\displaystyle =-{cos}^{2}x-\int sinxcosxdx}$ 　

ここで，${\displaystyle \int sinxcosxdx=I}$  とおくと

${\displaystyle I}$${\displaystyle =-{cos}^{2}x-I}$ 　

${\displaystyle 2I}$${\displaystyle =-{cos}^{2}x}$ 　

${\displaystyle I}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}{cos}^{2}x}$ 　

最後に，積分定数${\displaystyle C}$  を加える．

${\displaystyle I=-\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ 　

これは ${\displaystyle 2}$ 倍角の公式によって求まった答 ${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ と異なっているが，${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$ を変形すると${\displaystyle \frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$  になる．

半角の公式の${\displaystyle 2}$ 番目の式より

${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left(\frac{1+cos2x}{2}\right)+C}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{4}+C}$ 　

ここで，${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$  も任意の定数となるので，${\displaystyle -\frac{1}{4}+C}$  を改めて ${\displaystyle C}$ とかき直す．

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+C}$

よって，このことから， ${\displaystyle \cos x=t}$  とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle -\frac{1}{2}{cos}^{2}x+C}$  を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sinxcosx}$  に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日