${\displaystyle {\displaystyle \int \sin x{\left(\sin x\right)}^{\prime }dx}}$と部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int sinxcosxdx}$ 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+\frac{1}{4}+C}$  （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法 より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ 　

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int sinxcosxdx=\int sinx{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$  

と考えて部分積分法を使う．${\displaystyle \cos x}$  が${\displaystyle {\left(sinx\right)}^{\prime }}$ に変換できるのは，ここ を参照

与式${\displaystyle =\int sinx{\left(sinx\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =sinx·sinx-\int {\left(sinx\right)}^{\prime }·sinxdx}$ 　

方針の部分積分の公式を使う.

${\displaystyle ={sin}^{2}x-\int cosx·sinxdx}$ 　

（${\displaystyle {\left(\sin x\right)}^{\prime }}$ を微分すると ${\displaystyle \cos x}$ になるのは，ここ を参照）

${\displaystyle ={sin}^{2}x-\int sinxcosxdx}$ 　

ここで，${\displaystyle \int sinxcosxdx=I}$  とおくと

${\displaystyle I}$${\displaystyle ={sin}^{2}x-I}$ 　

${\displaystyle 2I}$${\displaystyle ={sin}^{2}x}$ 　

${\displaystyle I}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{sin}^{2}x}$ 　

最後に，積分定数${\displaystyle C}$  を加える．

${\displaystyle I=\frac{1}{2}{sin}^{2}x+C}$ 　

これは ${\displaystyle 2}$ 倍角の公式によって求まった答${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$  と異なっているが，${\displaystyle -\frac{1}{4}cos2x+C}$  を変形すると${\displaystyle \frac{1}{2}{sin}^{2}x+C}$  になる．

半角の公式の${\displaystyle 1}$ 番目の式より

${\displaystyle \frac{1}{2}{sin}^{2}x+C=\frac{1}{2}\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)+C}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{4}cos2x+\frac{1}{4}+C}$ 　

ここで，${\displaystyle \frac{1}{4}+C}$  も任意の定数となるので，${\displaystyle \frac{1}{4}+C}$  を改めてとかき直す．
よって，このことから，${\displaystyle sin=t}$  とおいて置換積分する方法でも解くことができる．

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}{sin}^{2}x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle sinxcosx}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日