不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int 5^{x}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \frac{5^x}{log5}dx+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の 指数／対数の積分 よりこの

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int 5^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{5^x}{log5}dx+C}$　

（この問題では(1)において ${\displaystyle a=5}$ である．

●別計算

被積分関数の指数関数の底を $5$ から $e$ に変換してから積分する．変換方法かここを参照．

${\displaystyle {\displaystyle \int 5^{x}dx}={\displaystyle \int e^{\log 5^x}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int e^{x\log 5}dx}}$

${\displaystyle x\log 5=t}$ とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\log 5}$ より${\displaystyle dx=\frac{1}{\log 5}dt}$ ．よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t\frac{1}{\log 5}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{\displaystyle \int e^{t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^t+C}$

変数を $x$ から $t$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{1}{\log 5}{e}^{x\log 5}+C}$

${\displaystyle =\frac{5^x}{\log 5}+C}$

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{5^x}{log5}dx+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 5^x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年8月6日