不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\left(2-x\right)}^4}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3{\left(2-x\right)}^3}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\left(2-x\right)}^4}dx}}$

${\displaystyle 2-x=t}$ とおく（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-1}$　→　${\displaystyle dx=-dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t^4}\cdot \left(-dt\right)}}$

（${\displaystyle 2-x=t}$ ，${\displaystyle dx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t^4}dt}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int t^{-4}dt}}$

（式変形はここを参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{-4+1}{t}^{-4+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

((1)を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^{-3}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(2-x\right)}^{-3}+C}$

（${\displaystyle t=2-x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した）

${\displaystyle =\frac{1}{3{\left(2-x\right)}^3}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日