不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{3x+4}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{9}\left(3x+4\right)\sqrt{3x+4}+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{3x+4}dx}}$

${\displaystyle 3x+4=t}$ とおく置換積分法を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=3}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \sqrt{t}\cdot \frac{1}{3}dt}}$

(${\displaystyle 3x+4=t}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{3}dt}$ を与式に代入すした)

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle \int \sqrt{t}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\displaystyle \int t^{\frac{1}{2}}dt}}$

(${\displaystyle \sqrt{t}}$ を累乗の形にした)

${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}{t}^{\frac{1}{2}+1}+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの式(1) を参照)

${\displaystyle =\frac{2}{9}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{9}{\left(3x+4\right)}^{\frac{3}{2}}+C}$

(${\displaystyle t=3x+4}$ より変数を$t$から$x$に戻した )

${\displaystyle =\frac{2}{9}\left(3x+4\right)\sqrt{3x+4}+C}$　（$C$は積分定数）

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{2}{9}\left(3x+4\right)\sqrt{3x+4}+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \sqrt{3x+4}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{3x+4}dx}}$

最終更新日： 2023年11月24日