不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {\text{csc}}^2\left(5x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)dx}$ 　

■答

${\displaystyle -\frac{1}{5}cot\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の三角関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int {\text{csc}}^{2}xdx=-cotx+C}}$　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int {csc}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)dx}$ 　

${\displaystyle 5x+\frac{\pi }{3}=t}$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle {\displaystyle \frac{dt}{dx}=5}}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{5}dt}$ 　

よって

与式${\displaystyle =\int {csc}^{2}t·\frac{1}{5}dt}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{5}\int {csc}^{2}tdt}$ 　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{5}·\left(-cott\right)+C}$ 　

（ヒントの公式(1)を適用した）

${\displaystyle =-\frac{1}{5}cott+C}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{5}cot\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$ 　

（最初に，${\displaystyle 5x+\frac{\pi }{3}=t}$ と置換したので，元に戻した）

●備考

この公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$

を使ってもよい．

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{5}cot\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {csc}^2\left(5x+\frac{\pi }{3}\right)}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年7月5日