定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^2\left(x^3-3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{21}{4}+2\sqrt{2}}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\int }_1^2\left(x^3-3x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

（計算しやすいよう， ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}}$ （累乗）に変換）

${\displaystyle ={\int }_1^2{x}^{3}dx-3{\int }_1^2{x}^{2}dx+{\int }_1^2{x}^{-\frac{1}{2}}dx}$

(定積分の基本式より，式を変形)

（ヒントの式(1)，(2)を適用する）

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{4}{x}^4\right]}_1^2-3{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^2+{\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]}_1^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(2^4-1^4\right)-\left(2^3-1^3\right)+2\left(2^{\frac{1}{2}}-1^{\frac{1}{2}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{16-1}{4}-\left(8-1\right)+2\left(\sqrt{2}-1\right)}$

${\displaystyle =-\frac{21}{4}+2\sqrt{2}}$

　

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最終更新日： 2025年6月9日