定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{3}x{e}^{3x}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{9}\left(8e^9+1\right)}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int x{e}^{3x}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle \int x{e}^{3x}dx=\int x{\left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)}^{\prime }dx}$ 　

として部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int x{\left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =x\cdot \left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)-\int x^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)dx}$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

${\displaystyle =\frac{1}{3}x{e}^{3x}-\int 1\cdot \left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{3}x{e}^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{3}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}x{e}^{3x}-\frac{1}{9}{e}^{3x}+C}$ 　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle x{e}^{3x}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_0^{3}x{e}^{3x}dx={\left[\frac{1}{3}x{e}^{3x}-\frac{1}{9}{e}^{3x}\right]}_0^3}$ 　

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{3}x{e}^{3x}-\frac{1}{9}{e}^{3x}\right]}_0^3}$ 　

${\displaystyle =\left(e^9-\frac{1}{9}{e}^9\right)-\left(0-\frac{1}{9}\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{8}{9}{e}^9+\frac{1}{9}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{9}\left(8e^9+1\right)}$ 　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日