定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{1}{8x+3}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{8}log5}$ 　

■ヒント

(1) 定積分の基本式より，定理を用いる．

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

(2) 基本となる関数の積分より，以下の公式を用いる

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

(3) 以下の関係式を用いる．

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)}}$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{1}{8x+3}dx}$${\displaystyle =\frac{1}{8}{\left[\log \left|8x+3\right|\right]}_{\frac{1}{2}}^4}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left\{log\left|32+3\right|-log\left|4+3\right|\right\}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left(log35-log7\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot log\frac{35}{7}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}log5}$ 　

　

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最終更新日： 2023年11月23日