定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{8}{15}}$

■ヒント

置換積分法

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(1)

ウォリス積分

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle x=sin\theta }$ ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\right)}$ ･･････(3)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=cos\theta }$ ∴ ${\displaystyle dx=cos\theta d\theta }$ ･･････(4)

（ ${\displaystyle sin\theta }$ を微分すると ${\displaystyle cos\theta }$ になるのは，微分 ${\displaystyle sinx}$ を参照）

よって

${\displaystyle \int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{{sin}^5\theta }{\sqrt{1-{sin}^2\theta }}cos\theta d\theta }$

ここで， ${\displaystyle 1-{sin}^2\theta ={cos}^2\theta }$ （三角関数の相互関係の ${\displaystyle 1}$ 番目の式を参照）より　

${\displaystyle \sqrt{1-{sin}^2\theta }=\sqrt{{cos}^2\theta }}$

${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ なので， ${\displaystyle cos\theta \geqq 0}$ となり， ${\displaystyle \sqrt{{cos}^2\theta }=cos\theta }$ である．　

したがって

${\displaystyle =\int \frac{{sin}^5\theta }{cos\theta }cos\theta d\theta }$

${\displaystyle =\int {sin}^5\theta d\theta }$

次に， ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}$ を求める．

はじめに　 ${\displaystyle x=sin\theta }$ と置換していることいり

${\displaystyle x=0}$ のとき ${\displaystyle \theta =0}$ ,　 ${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$

よって，ヒントの式(1)より

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{sin}^5\theta d\theta }$

となる．

ヒントの式(2)のを適用する． ${\displaystyle n}$ に代入する値が ${\displaystyle 5}$ （奇数）となる

${\displaystyle =\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$

${\displaystyle =\frac{8}{15}}$

●別解

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(x^2\right)}^2\cdot x}{\sqrt{1-x^2}}dx}}$

${\displaystyle 1-x^2=t}$ とおく置換積分で計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x}$ より ${\displaystyle xdx=-\frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle x:0\to 1}$ のとき ${\displaystyle t:1\to 0}$

$x^2=1-t$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^0\frac{{\left(1-t\right)}^2}{\sqrt{t}}\left(-\frac{1}{2}dt\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^0\frac{1-2t+t^2}{\sqrt{t}}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1-2t+t^2}{\sqrt{t}}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\left(t^{-\frac{1}{2}}-2t^{\frac{1}{2}}+t^{\frac{3}{2}}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\left[2t^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5}\right)}$

${\displaystyle ==\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}$

${\displaystyle =\frac{8}{15}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年12月18日