定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx}$

■答

${\displaystyle 2}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1)

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int 2dx}$ ${\displaystyle =2x+C}$

（ ${\displaystyle 2}$ を積分すると ${\displaystyle 2x}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle 2}$ の原始関数である）

よって，ヒントの式(1)より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx={\left[2x\right]}_1^2}$

となる

${\displaystyle ={\left[2x\right]}_1^2}$ ${\displaystyle =2\left(2-1\right)}$ ${\displaystyle =2}$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2dx}$ を求めておく．

${\displaystyle 2x=t}$ とおいて置換積分をする．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ ∴ ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ ･･････(3)

よって

${\displaystyle \int 2dx}$ ${\displaystyle =\int 2\cdot \frac{1}{2}dt}$ ${\displaystyle =\int dt}$ ${\displaystyle =t+C}$

（ ${\displaystyle 1}$ を積分すると ${\displaystyle t}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle 2x=t}$ と置換していことより

${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle t=2}$ , ${\displaystyle x=2}$ のとき ${\displaystyle t=4}$

よって，ヒントの式(２)より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx={\int }_2^{4}dt={\left[t\right]}_2^4}$

となる．

${\displaystyle ={\left[t\right]}_2^4}$ ${\displaystyle =4-2}$ ${\displaystyle =2}$

この積分の値は，下の図の青色の領域の面積の値に相当する．

$2x=t$ の置換によって，赤色の領域が青色の領域に等積変換されている.

　

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最終更新日： 2025年4月27日