定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_2^4{e}^{\frac{1}{2}x}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \mathrm{}2\left(e^2-e\right)}$ 　　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int e^x\mathit{dx}=e^x+C}$　　（$C$は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int e^{\frac{1}{2}x}dx}$を求めておく．

${\displaystyle \int e^{\frac{1}{2}x}dx}$${\displaystyle =2e^{\frac{1}{2}x}+C}$ 　　

（これが ${\displaystyle e^{\frac{1}{2}x}}$ の原始関数である．この積分の計算は，${\displaystyle \int e^{3x}dx}$ の計算が参考になる．）

よって

${\displaystyle {\int }_2^4{e}^{\frac{1}{2}x}dx}$ 　 ${\displaystyle =2{\left[e^{\frac{1}{2}x}\right]}_2^4}$ ${\displaystyle =\mathrm{}2\left(e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-e^{\frac{1}{2}\cdot 2}\right)}$${\displaystyle =\mathrm{}2\left(e^2-e\right)}$ 　　

　

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最終更新日： 2024年7月17日