定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle 1}$ 　　

■ヒント　

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　 　

基本となる関数の積分

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$　　（$C$は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int {sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int {sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　　

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =tan\left(x+\frac{\pi }{2}\right)+C}$ 　　

（これが${\displaystyle {sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)}$の原始関数である)

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{sec}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[tan\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}$ 　　

となる．

${\displaystyle =tan\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)-tan\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)}$${\displaystyle =tan\pi -tan\frac{3\pi }{4}}$${\displaystyle =1}$ 　　

　

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最終更新日： 2023年11月23日