定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{6}}{\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　

■答

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{3}}+1}$ 　

■ヒント

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

基本となる関数の積分

${\displaystyle {\displaystyle \int {\text{csc}}^{2}xdx=-cotx+C}}$ 　　　　　（$C$ は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int {\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$を求めておく．

${\displaystyle \int {\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =-cot\left(x+\frac{\pi }{2}\right)+C}$ 　

（これが ${\displaystyle {\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)}$ の原始関数である）

よって，定積分計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{6}}{\text{csc}}^2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　 ${\displaystyle ={[-cot\left(x+\frac{\pi }{2}\right)]}_{-\frac{\pi }{4}}^{-\frac{\pi }{6}}}$

となる．

${\displaystyle =-cot\left(-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}\right)+cot\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)}$ 　

${\displaystyle =-cot\frac{\pi }{3}+cot\frac{\pi }{4}}$ 　

（${\displaystyle cotx=\frac{1}{tanx}}$ である）

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{3}}+1}$ 　

　

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最終更新日： 2024年7月5日