積分の問題(応用)

■問題

${\displaystyle y=x{e}^x(x\ge 0)}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とおく.

定積分 ${\displaystyle {\int }_0^{e}f(x)dx}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle e-1}$

■ヒント

${\displaystyle y=x{e}^x}$ ${\displaystyle (x\ge 0)}$ の逆関数を ${\displaystyle y=f(x)}$ とおいているので，${\displaystyle y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)=y{e}^y}$ となる．

よって，${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{e}f(x)dx}}$ の積分変数${\displaystyle x}$ は${\displaystyle x=y{e}^y(y\ge 0)}$ と表せるので，${\displaystyle x=y{e}^y}$ とおく置換積分をする．

■解説

逆関数を${\displaystyle y=f(x)}$ とおく．

${\displaystyle x=y{e}^y}$ の両辺を${\displaystyle y}$ で微分して

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=1\cdot e^y+y{e}^y}$

${\displaystyle =(1+y)e^y}$

${\displaystyle dx=(1+y)e^{y}dy}$

${\displaystyle x=y{e}^y}$ において，

${\displaystyle x=0}$ のとき，${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle x=e}$ のとき， ${\displaystyle y=1}$

よって，逆関数の積分範囲は，０から１までとなる．

${\displaystyle dx=(1+y)e^{y}dy}$　と，${\displaystyle y=f(x)}$ を代入して，

${\displaystyle {\int }_0^{e}f(x)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{1}y\cdot \left(1+y\right)e^{y}dy}$

部分積分して，

${\displaystyle ={\left[\left(y+y^2\right)e^y\right]}_0^1-{\int }_0^1\left(1+2y\right)e^{y}dy}$

${\displaystyle =\left\{\left(1+1^2\right)e^1-\left(0+0^2\right)e^0\right\}}$${\displaystyle -\left({\left[\left(1+2y\right)e^y\right]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^{1}2e^y}dy\right)}$

${\displaystyle =2e-\{\left(1+2\right)e^1-\left(1+0\right)e^0}$${\displaystyle -2{\left[e^y\right]}_0^1\}}$

${\displaystyle =2e-\left\{\left(3e-1\right)-2\left(e^1-e^0\right)\right\}}$

${\displaystyle =2e-\left(3e-1-2e+2\right)}$

${\displaystyle =2e-\left(e+1\right)}$

${\displaystyle =e-1}$

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最終更新日： 2023年11月24日