基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け.

log 2 (x+3)+ log 2 (x4)=3

■答

x=5

■ヒント

3 を底 2 の対数にする

■計算

log 2 (x+3)+ log 2 (x4) =3 =3 log 2 2 = log 2 2 3 = log 2 8

(x+3)(x4) =8

x 2 x12 =8

x 2 x20 =0

(x+4)(x5) =0

x=5  (真数条件, x>4 を満たしている.)

■解説

最初に真数条件を確認する.

x+3>0 x4>0  ⇒  x>3 x>4

すなわち

x>4

となる.

与式の左辺を変形する. log a S+ log a R= log a SR の公式より

log 2 (x+3)+ log 2 (x4) = log 2 (x+3)(x4)

次に与式の右辺を変形する.右辺の3を底が2の対数に変換する.このとき t log a R=log a R t の公式を適用する.

3 =3 log 2 2 = log 2 2 3 = log 2 8

ゆえに与式は

log 2 (x+3)(x4) = log 2 8

と変形できる.(以下,対数方程式の解法の2を参照)

( x+3 )( x4 ) =8

x 2 x12 =8

x 2 x20 =0

( x5 )( x+4 ) =0

x=5,4

ゆえに x の値は

x=5 (真数条件: x>4 を満たしている)

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日