基本的な対数方程式の問題

■問題

次の対数方程式を解け．

${\displaystyle {log}_2(x+3)+{log}_2(x-4)=3}$

■答

${\displaystyle x=5}$

■ヒント

${\displaystyle 3}$を底${\displaystyle 2}$の対数にする

■計算

${\displaystyle {log}_2(x+3)+{log}_2(x-4)=3}$$$${\displaystyle =3{log}_{2}2}$${\displaystyle ={log}_2{2}^3}$${\displaystyle ={log}_{2}8}$

${\displaystyle (x+3)(x-4)=8}$

${\displaystyle x^2-x-12=8}$

${\displaystyle x^2-x-20=0}$

${\displaystyle (x+4)(x-5)=0}$

${\displaystyle x=5}$ 　(真数条件，${\displaystyle x>4}$ を満たしている．)

■解説

最初に真数条件を確認する．

${\displaystyle x+3>0}$，${\displaystyle x-4>0}$　⇒　${\displaystyle x>-3}$，${\displaystyle x>4}$

すなわち

${\displaystyle x>4}$

となる．

与式の左辺を変形する．${\displaystyle {log}_{a}S+{log}_{a}R={log}_{a}SR}$ の公式より

${\displaystyle {log}_2(x+3)+{log}_2(x-4)}$ ${\displaystyle ={log}_2(x+3)(x-4)}$

次に与式の右辺を変形する．右辺の$3$を底が2の対数に変換する．このとき${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$ の公式を適用する．

${\displaystyle 3}$${\displaystyle =3{log}_{2}2}$${\displaystyle ={log}_2{2}^3}$${\displaystyle ={log}_{2}8}$

ゆえに与式は

${\displaystyle {log}_2(x+3)(x-4)}$ ${\displaystyle ={log}_{2}8}$

と変形できる．(以下，対数方程式の解法の2を参照）

${\displaystyle \left(x+3\right)\left(x-4\right)}$${\displaystyle =8}$

${\displaystyle x^2-x-12}$${\displaystyle =8}$

${\displaystyle x^2-x-20}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \left(x-5\right)\left(x+4\right)}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x=5,-4}$

ゆえに${\displaystyle x}$の値は

${\displaystyle x=5}$ (真数条件：${\displaystyle x>4}$ を満たしている)

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日