対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け.

log 2 (x+2)+ log 2 x<3

■答

0<x<2

■計算

log 2 (x+2)+ log 2 x <3

log 2 x(x+2) <3

log 2 x(x+2) <3 log 2 2

log 2 x(x+2) < log 2 2 3

log 2 x(x+2) < log 2 8

対数の底の数が 2>1 より

x(x+2) <8

x 2 +2x8 <0

(x+4)(x2) <0

4<x<2

真数条件が x>0 より

0<x<2

■解説

最初に,真数条件より

x+2>0 x>0

すなわち

x>2 x>0

よって

x>0

次に真数同士の比較ができるように、与式を変形する.

最初に与式の左辺を変形し,ひとつの対数にまとめる.

公式 log a S+ log a R= log a SR を用いて

log 2 (x+2)+ log 2 x= log 2 x(x+2)

次に右辺の数値を左辺と同じ底の対数に変換する.

公式 1= log a a を用いて

3=3·1=3 log 2 2

さらに公式 t log a R=log a R t を用いて

3 log 2 2 = log 2 2 3 = log 2 8

これにより与式は以下のように変形できた.

与式)   log 2 (x+2)+ log 2 x <3

log 2 x(x+2) < log 2 8

両辺が底の値が2の対数で表されたので,真数同士を比較する.

いま底の値2は 2>1 ,すなわちグラフは単調増加であるので,真数同士を比較したときの大小関係は対数の大小関係と一致する.

ゆえに

x(x+2) <8

x 2 +2x8 <0

(x+4)(x2) <0

すなわち求める範囲は

4<x<2

ただし,真数条件 x>0 より求める答えは

0<x<2

となる.

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年11月28日