対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x<3}$

■答

${\displaystyle 0<x<2}$

■計算

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x}$${\displaystyle <3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <3{log}_{2}2}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_2{2}^3}$

${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_{2}8}$

対数の底の数が${\displaystyle 2>1}$ より

${\displaystyle x(x+2)}$${\displaystyle <8}$

${\displaystyle x^2+2x-8}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle (x+4)(x-2)}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle -4<x<2}$

真数条件が${\displaystyle x>0}$ より

${\displaystyle 0<x<2}$

■解説

最初に，真数条件より

${\displaystyle x+2>0}$ ， ${\displaystyle x>0}$

すなわち

${\displaystyle x>-2}$， ${\displaystyle x>0}$

よって

${\displaystyle x>0}$

次に真数同士の比較ができるように、与式を変形する．

最初に与式の左辺を変形し，ひとつの対数にまとめる．

公式 ${\displaystyle {log}_{a}S+{log}_{a}R={log}_{a}SR}$ を用いて

${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x={log}_{2}x(x+2)}$

次に右辺の数値を左辺と同じ底の対数に変換する．

公式${\displaystyle 1={log}_{a}a}$ を用いて

${\displaystyle 3=3·1=3{\log }_{2}2}$

さらに公式${\displaystyle t{log}_{a}R={log}_a{R}^t}$を用いて

${\displaystyle 3{log}_{2}2}$${\displaystyle ={log}_2{2}^3}$${\displaystyle ={log}_{2}8}$

これにより与式は以下のように変形できた．

与式)  ${\displaystyle {log}_2(x+2)+{log}_{2}x}$${\displaystyle <3}$

⇒ ${\displaystyle {log}_{2}x(x+2)}$${\displaystyle <{log}_{2}8}$

両辺が底の値が2の対数で表されたので，真数同士を比較する．

いま底の値２は${\displaystyle 2>1}$，すなわちグラフは単調増加であるので，真数同士を比較したときの大小関係は対数の大小関係と一致する．

ゆえに

${\displaystyle x(x+2)}$${\displaystyle <8}$

${\displaystyle x^2+2x-8}$${\displaystyle <0}$

${\displaystyle (x+4)(x-2)}$${\displaystyle <0}$

すなわち求める範囲は

${\displaystyle -4<x<2}$

ただし，真数条件 ${\displaystyle x>0}$ より求める答えは

${\displaystyle 0<x<2}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日