基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle {log}_9\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+{log}_{\frac{1}{3}}9}$

■答

${\displaystyle -\frac{15}{8}}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

${\displaystyle {log}_9\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+{log}_{\frac{1}{3}}9}$

底の変換公式を用いて，底を$3$にそろえる．

${\displaystyle =\frac{{log}_3\sqrt[4]{3}}{{log}_{3}9}+\frac{{log}_{3}9}{{log}_3\frac{1}{3}}}$

ここで

正の有理数の${\displaystyle \frac{m}{n}}$ を指数とする場合から

${\displaystyle {log}_3\sqrt[4]{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{\frac{1}{4}}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

対数計算の基本から

${\displaystyle {log}_{3}9}$${\displaystyle ={log}_3{3}^2}$$=2$

${\displaystyle {log}_3\frac{1}{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{-1}}$$=-1$

よって

${\displaystyle =\frac{{log}_3{3}^{\frac{1}{4}}}{{log}_3{3}^2}+\frac{{log}_3{3}^2}{{log}_3{3}^{-1}}}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{4}}{2}+\frac{2}{-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}-2}$

${\displaystyle =-\frac{15}{8}}$

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最終更新日： 2024年12月4日