基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle 2^x+2^{-x}=5}$

■答

${\displaystyle x={\log }_2\left(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right)}$

■ヒント

対数の性質より， ${\displaystyle 2^{-x}=\frac{1}{2^x}}$ であるので，与式の左辺を変形させる．

${\displaystyle 2^x+\frac{1}{2^x}=5}$

ここで，${\displaystyle 2^x=Y}$ ${\displaystyle \left(Y>0\right)}$ とすると

${\displaystyle Y+\frac{1}{Y}=5}$

${\displaystyle Y^2+1=5Y}$

${\displaystyle Y^2-5Y+1=0}$

■解き方

与式の左辺は${\displaystyle 2^x}$ という底が${\displaystyle 2}$，指数が${\displaystyle x}$ の関数と，${\displaystyle 2^{-x}}$ という底が${\displaystyle 2}$，指数が${\displaystyle -x}$ の関数の和になっている．

ここで，指数の性質より ${\displaystyle 2^{-x}=\frac{1}{2^x}}$

であるので，与式の左辺を変形すると

${\displaystyle 2^x+\frac{1}{2^x}=5}$

となる．

${\displaystyle 2^x=Y}$ ${\displaystyle \left(Y>0\right)}$ とすると与式の左辺は

${\displaystyle Y+\frac{1}{Y}=5}$

両辺に${\displaystyle Y}$ をかけると

${\displaystyle Y^2+1=5Y}$

右辺の${\displaystyle 5Y}$ を左辺に移項すると

${\displaystyle Y^2-5Y+1=0}$

となり，与式は${\displaystyle Y}$ についての二次方程式になる．

次に，左辺の二次方程式を解の公式を用いて解くと

${\displaystyle Y=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}>0}$

${\displaystyle 2^x=Y}$ より

${\displaystyle 2^x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}}$

となる．両辺に底を${\displaystyle 2}$ とする対数をとると，

${\displaystyle {\log }_2{2}^x={\log }_2\left(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right)}$

ここで，対数の性質より左辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出すと

${\displaystyle x{\log }_{2}2={\log }_2\left(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right)}$

${\displaystyle {\log }_{2}2=1}$ より

${\displaystyle x={\log }_2\left(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right)}$

が成り立つ．

よって，求める${\displaystyle x}$ の値は

${\displaystyle x={\log }_2\left(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\right)}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年10月3日