基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle log{e}^2+log\frac{1}{e}+log\frac{1}{\sqrt{e}}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

■計算

■ヒント

対数計算の手順を参照

${\displaystyle log{e}^2+log\frac{1}{e}+log\frac{1}{\sqrt{e}}}$

${\displaystyle =2loge+\left(-1\right)loge+\left(-\frac{1}{2}\right)loge}$

${\displaystyle =2+\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

■解説

自然対数であることに注意する.まずはすべての真数を ${\displaystyle a^r}$ の形に書き換える．

${\displaystyle {\displaystyle log{e}^2+log\frac{1}{e}+log\frac{1}{\sqrt{e}}}}$

${\displaystyle =log{e}^2+log\frac{1}{e^1}+log\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}}$

${\displaystyle =log{e}^2+log{e}^{-1}+log{e}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ の公式を適用すると

${\displaystyle log{e}^2+log{e}^{-1}+log{e}^{-\frac{1}{2}}}$ ${\displaystyle =2loge+\left(-1\right)loge+\left(-\frac{1}{2}\right)loge}$

${\displaystyle loge={log}_{e}e=1}$ が成り立つ．これを適用すると

${\displaystyle 2loge+\left(-1\right)loge+\left(-\frac{1}{2}\right)loge}$

${\displaystyle =2+\left(-1\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

すなわち

${\displaystyle {\displaystyle log{e}^2+log\frac{1}{e}+log\frac{1}{\sqrt{e}}=\frac{1}{2}}}$

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日